Teorema de Matrimonio Estable, y un aspecto machista de la sociedad

Hace mucho mucho tiempo, en un lugar muy muy lejano, habia un pueblo aislado de los otros pueblos. El pueblo hay \( n \) hombres y \( n \) mujeres solteros en edad de casarse. Y el matrimonio es algo muy importante para la estabilidad de la sociedad del pueblo, la gente pregunta, ¿ hay como casarse a los chicos, para que sea un matrimonio estable, es decir, que no haya el caso de que un marido de una, y una mujer de otro, prefieren escapar y estar juntos?

Formalmente, asumimos que cada hombre tiene una lista secreta que ordenó a las mujeres en orden de su perferencia, y asi mismos, cada mujer orden&oacute a los hombres en su perferencia. El orden de cada persona puede ser distinta, ya que cada persona tiene su individualidad, como en la vida real. Y asumimos que todos terminan casados al final (no tanto como la vida real, ouch). Lo que la gente no quiere que pase, es que haya 2 parejas, digamos (Goku, Chi-Chi) y (Vegeta, Bulma) donde Goku prefiere a Bulma mas que su esposa Chi-Chi y Bulma prefiere a Goku mas que su esposo Vegeta .

La buena noticia es que, en 1962, dos matemáticos demostraron que, dado que el número de hombres y mujeres son iguales, siempre hay como hacer que todos los matrimonios estable. Y de hecho, ellos formularon un algoritmo de aparear a la gente, para llegar a una formulación estable.

Y el algorithmo es va más o menos así:

1. todos los hombres va y declara a la mas preferida de su lista, en orden.
2. Si su preferida es soltera, lo acepta y ellos se amarra.
3. Si su preferida no es soltera, y ella prefiere a su pelado actual, (o, su pelado actual esta mas arriba en la lista), no lo para bola.
4. O sino, si ella prefiere mas el nuevo, entonces corta con su pelado actual y amarra con el nuevo.
5. y el rechazado regrese y mira la siguiente de su lista y sigue.

El chiste es que ese proceso eventualmente termina, y todos estan amarrados con alguien. De ahi despues de un año o dos de noviazgo terminan casando, y ahí tienen tus matrimonios estables.

Y porque carajo eso funca? Bueno la intuicion es lo siguiente: primero se nota que, aunque los hombres amarra y despues puede ser abandonados, las mujeres nunca vuelve soltera una vez amarrada. Es decir el numero de solteras disnumiye estrictamente. Entonces el proceso tiene que terminar. Cuando el proceso termina, si hubiera 2 parejas, digamos (Goku, Chi-Chi) y (Vegeta, Bulma) , entonces, como Goku prefiere a Bulma , entonces significa que Goku declaró antes que su esposa actual. Y como Bulma esta con otra persona Vegeta, significa que Bulma rechazó a Goku. Entonces no puede preferir a Goku más que Vegeta.

Bueno, una vez sabiendo como obtener estabilidad social del pueblo, otra pregunta que podemos hacer es, el proceso descrito conviene más a los hombres o a las mujeres?

Aparentemente a las mujeres mas, ya que ellas no tienen que tomar iniciativas, una vez amarrada nunca es rechazada, y si cambia de pelado es por uno mejor. Y los hombres hace todo, puede salir con corazones rotos varias veces hasta encontrar la final. Pero el resultado no es asi.

Puede que el proceso conviene a las mujeres, pero el resultado conviene a los hombres. De hecho, el apareamiento obtenido de la forma descrito arriba es llamado uun apareamiento “optimo para hombres” (male-optimal), y su definición es: “los hombres termina con la mejor mujer que quiere estar con el, y las mujeres termina con el peor hombre que ella puede aceptar” (Donde las definiciones de “mejor” y “peor” es basado en el escala de cada persona). Una forma de observar eso es ver el caso especial donde todos los hombres tienen gustos super distintos y sus mas preferidas son todas distintas. Este caso, el algoritmo termina en el primer paso, cada hombre declara su perferida y es aceptado, y ahi termina. Obteniendo el óptimo para los hombres.

Aparte de existir el apareamiento optimo para masculino, tambien hay uno que es optimo para mujeres. Y la formas de o btenerlo es sincillamente, cambiando el papel de hombre y mujeres. Entre esos 2 apareamientos estables que es optimo para algunos hombres y mujeres pero no todos de un género. No conozco algoritmos para obtenerlos aun.

En conclusion, la matématica demuestra que:

1. Si las mujeres quieren conseguir el mejor hombre que puede conseguir, tienen que ser activas en vez de pasivas.
2. Si estas casada, no tiene razón de estar celosa, ya que ya sabes que eres la m&aacutes preferida que le pare bola. En cambio, los hombres si deben estar cuidados.

Bueno, conclusiones anteriores estan asumiendo que la preferencia de uno nunca cambia, y que la poblacion inicial nunca cambia, que no es siempre verdad.

Este teorema es el que siempre uso cuando para mostrar que la mate es chévere. Invito a todos que sepa ingles que vea este video en youtube Ella explica mejor que yo XD.